G* =  = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

    EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

 { -1 / G* =   / T] /  c} =

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

    /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  = 

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

Momento magnético do eletrão[editar | editar código-fonte]

O momento (dipolar) magnético de um eletrão é:

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    = /

 

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim,  é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

onde  é o tensor eletromagnético e onde  é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição[editar | editar código-fonte]

O tensor de Einstein ${\displaystyle \mathbf {G} }$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$/ 

sendo ${\displaystyle \mathbf {R} }$ o tensor de Ricci, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ o tensor métrico e ${\displaystyle R}$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$ 

/ 

Considerando a base coordenada ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\mu }\}}$ e sua correspondente dual ${\displaystyle \{\mathrm {d} x^{\kappa }\}}$, o tensor de Riemann pode ser expresso como

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle {R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }=\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },R\left(\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{v}\right)\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle =\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle }$ 

/ ,

em que ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ representa o produto interno.

Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle {R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }={\partial _{\mu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \lambda }}-{\partial _{\nu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \lambda }}+{\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \eta }-{\Gamma ^{\eta }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \eta }}$/ 

,

sendo ${\displaystyle \nabla _{v}\mathbf {e} _{\lambda }={\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }\mathbf {e} _{\eta }}$.^[3]

Comutadores e índices[editar | editar código-fonte]

Dado um quadrivetor genérico ${\displaystyle A}$, o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,^[4]

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle [\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }A^{\rho }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }-{T^{\lambda }}_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\rho }}$/ 

,

no qual ${\displaystyle {T^{\lambda }}_{\mu \nu }}$ é o tensor de torção.

Considerando o caso em que não há torção, isto é,

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

/

${\displaystyle [\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }}$,

o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade ${\displaystyle M}$ quando o vetor ${\displaystyle A}$ é transportado do ponto ${\displaystyle p}$ para um ponto ${\displaystyle q}$, primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.^[5]

Versão covariante[editar | editar código-fonte]

O tensor métrico covariante ${\displaystyle g_{\rho \zeta }}$ pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante ${\displaystyle g^{\rho \zeta }}$ pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.}$/ 

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Simetrias algébricas[editar | editar código-fonte]

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=-{R^{\rho }}_{\sigma \nu \mu }}$/

,

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu }}$.

Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }}$ ,

e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

/

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }}$.

Primeira identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

Na ausência de torção, temos:

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }+R_{\rho \nu \sigma \mu }+R_{\rho \mu \nu \sigma }=0}$/ 

.

Esta relação também pode ser escrita mais como

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

/

${\displaystyle R_{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0}$,

em que ${\displaystyle [\sigma \mu \nu ]}$ indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

Componentes independentes[editar | editar código-fonte]

Embora o tensor de Riemann tenha ${\displaystyle n^{4}}$ componentes, em que ${\displaystyle n}$ é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a ${\displaystyle {\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)}$ componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.^[6]

Segunda identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle \nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0}$.

Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como^[4]

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle \nabla _{[\lambda }R_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0}$.

Tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle \underbrace {\operatorname {R} _{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {\operatorname {R} ^{c}{}_{acb}} _{\text{Riemann}}=g^{cd}\underbrace {\operatorname {R} _{cadb}} _{\text{Riemann}}}$

Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos variedade de Einstein. A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo:

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle {R_{ij}=R_{iaj}^{a}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}}$,

sendo o símbolo de Christoffel representado por

  G =  

  G =    

  G =   

 G=  G* =  =

 G =     ω 

  G=   G* =   / T] /  c}

 G =  [          ] ω  , ,  / T] / c [ =

 G =       /   /    

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c    [x,t] ]  =

 G=    

 G=   

 G =   =

 G =    =

${\displaystyle {\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }(g_{\alpha \lambda ,\beta }+g_{\lambda \beta ,\alpha }-g_{\beta \alpha ,\lambda })}}$ / 

.